Myślenie wizualne w uczeniu się matematyki

Wyobraź sobie, że jest letnie, ciepłe i słoneczne popołudnie. Właśnie wracasz do domu po pierwszej części dnia spędzonej na złocistej plaży nad morzem. Po drodze zatrzymujesz się w najbliższym sklepie, aby kupić butelkę wody gazowanej i ugasić pragnienie po godzinach spędzonych na słońcu. Sięgasz do swojego plecaka i wyciągasz portfel, który wciąż jest lekko zabrudzony piaskiem.

Następnie otwierasz go i dostrzegasz, że masz w nim trochę gotówki oraz szybko orientujesz się, że są to polskie monety i banknoty.

Przeliczasz pieniądze, zastanawiając się, czy wystarczy Ci na zakupy. W myślach wykonujesz szybką kalkulację i z ulgą stwierdzasz, że masz odpowiednią kwotę.

Podchodzisz do kasy i przekazujesz kasjerowi odliczoną kwotę.

Wychodzisz ze sklepu, ciesząc się chłodnym napojem i spokojem letniego popołudnia.

Opisany powyżej proces jest jednym z wielu przykładów myślenia wizualnego. Autor książki "Narysuj swoje myśli. Jak skutecznie prezentować i sprzedawać pomysły na kartce papieru" (tytuł oryginału: The Back of the Napkin) Dan Roam dzieli ten proces na cztery następujące po sobie etapy:

A zatem:

• otwierając portfel patrzysz, co jest w środku,
• W otwartym portfelu widzisz konkretne pieniądze,
• wyobrażasz sobie, czy masz wystarczającą ilość gotówki w portfelu (wykonujesz obliczenia w pamięci i porównujesz otrzymaną kwotę z ceną butelki wody),
• odliczoną kwotę pokazujesz kasjerowi i płacisz za swoje zakupy.

Według Dana Roama:

W swojej publikacji Dan Roam podkreśla, że proces myślenia wizualnego zazwyczaj przebiega w sposób liniowy – poszczególne etapy następują po sobie w określonej kolejności. Zdarzają się jednak sytuacje, w których wracamy do wcześniejszych kroków, tworząc pętlę. Przykładem może być moment, gdy po wyjęciu gotówki z portfela okazuje się, że przygotowana suma nie wystarcza na opłacenie zakupów. Wówczas musimy ponownie przeanalizować zawartość portfela i znaleźć odpowiednie monety lub banknoty. Z podobną sytuacją prawdopodobnie spotkałeś się podczas rozwiązywania zadania – po zakończeniu obliczeń, spoglądając jeszcze raz na wykonany przez nas zapis rozwiązania, często zauważamy, że można było zastosować inną metodę lub wzór, aby szybciej dojść do oczekiwanego wyniku.

W różnych źródłach możesz znaleźć odmienne definicje myślenia wizualnego. Jedna z nich została przedstawiona w raporcie „Myślenie wizualne – skuteczność i obszary zastosowań”, opracowanym w ramach projektu badawczego „Znaczenie myślenia wizualnego w procesie przyswajania informacji”. Poniższa definicja myślenia wizualnego została wykorzystana we wspomnianym projekcie badawczym.

Za każdym razem, gdy na tej stronie pojawia się odniesienie do definicji myślenia wizualnego, należy je rozumieć zgodnie z definicją procesową przedstawioną przez Dana Roama.

Zastanawiasz się pewnie, jak możesz wykorzystać to narzędzie podczas własnej nauki matematyki. Oto kilka sprawdzonych zastosowań:

• wykorzystywanie form graficznych do przedstawiania rozwiązań zarówno zadań z treścią, jak i obliczeniowych,
• wykorzystywanie aplikacji, takich jak Geogebra czy Desmos oraz tablic manipulacyjnych do wizualizacji i analizy wyników lub sytuacji przedstawionych w zadaniu oraz lepszego zrozumienia pojęć matematycznych,
• tworzenie notatek z konkretnego tematu lub podsumowujących cały dział,
• wykorzystywanie gotowych notatek lub kart pracy do wypełnienia,
• analiza własnych postępów w nauce, w tym rozpisywanie planów nauki i wykonywanie zwięzłych podsumowań nauki.

Poniżej szerzej omówię wybrane z wyżej wymienionych zastosowań.

Wyobraź sobie następującą sytuację: za oknem panuje ciemność, jest zimowy wieczór, a Ty siedzisz przy biurku, próbując przygotować się do sprawdzianu z matematyki, z działu który sprawia Ci wyjątkową trudność. Wiesz, że podobne przykłady mogą pojawić się na teście, ale mimo wysiłków jedyne, co udaje Ci się zrobić, to wypisać dane.

Znasz to uczucie?

Rozwiązywanie zadań potrafi być wyzwaniem, zwłaszcza gdy nie wypracowałeś odpowiedniej rutyny czytania ich treści ani sprawdzonego sposobu na przejrzyste zapisywanie rozwiązań. Oczywiście, w matematyce uporządkowany zapis rozwiązania jest niezwykle istotny, ponieważ pozwala nam dokładnie zrozumieć i prześledzić tok rozumowania, jednak można go osiągnąć nie tylko poprzez tradycyjne pisanie linijka pod linijką, ale także dzięki wizualnym formom zapisu, takim jak:

• tabele,
• diagramy,
• diagram Venna,
• oś czasu,
• oś liczbowa,
• układ współrzędnych,
• wykresy,
• stosowanie strzałek
• i inne.

Podczas rozwiązywania najważniejsze jest to, aby zapis był dla Ciebie czytelny i zrozumiały oraz aby osoba, która będzie analizować Twoje rozwiązanie również mogła w łatwy sposób zrozumieć tok Twojego rozumowania. Aby pokazać, jak wiele możliwości kryje się w wizualnych formach rozwiązań, przedstawiam kilka przykładów rozwiązań przygotowanych przeze mnie.

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(𝐾 = \{5, 6, 7, 8, 9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(𝐾\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

Z treści zadania dowiadujemy się, że rozpatrywane przez nas doświadczenie losowe polega na dwukrotnym losowaniu liczby ze zbioru \(𝐾 = \{5, 6, 7, 8, 9\}\) ze zwracaniem. Wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia możemy zapisać jak w tabelce poniżej. W tym momencie możemy już ustalić, że wszystkich możliwych wyników jest dokładnie \(25\).

Naszym zadaniem jest obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. W podobnej tabelce zapiszmy wszystkie możliwe sumy wylosowanych liczb i zaznaczmy te, które są liczbami parzystymi. Widzimy, że zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\) jest \(13\).

Aby obliczyć szukane prawdopodobieństwo wystarczy podzielić \(13\) przez \(25\).

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe \(\frac{13}{25} \).

W chwili początkowej (\(𝑡 = 0\)) masa substancji jest równa \(4\) gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa \(19 \%\) masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(𝑡  \geqslant 0 \) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1,5\) grama.
Zapisz obliczenia.
Z treści zadania, wiemy że w chwili początkowej (\(𝑡 = 0\)) masa substancji jest równa \(4\) gramom.

Masa tej substancji się zmniejsza i w każdej kolejnej dobie ubywa \(19 \%\) masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Oznacza to, że jeżeli w chwili początkowej masa była równa \(4\) gramom, to po upływie doby masa ta jest równa \(0,81 \cdot 4\). Analogicznie, po upływie dwóch dób masa to \(0,81^2 \cdot 4\), itd.

Wykonując obliczenia na kalkulatorze możemy ustalić, że masa ta spadnie poniżej \(1,5\) grama po upływie \(5\) pełnych dób.

Podczas wcześniejszych obliczeń zauważyliśmy, w jaki sposób oblicza się masy po upływie kolejnych dób. Sposób ten możemy zapisać za pomocą wzoru.

Odpowiedź: Wzór szukanej funkcji to \(w(t)=4 \cdot 0,81^t \), gdzie \(t \in \{0, 1, 2, ... \}\) oznacza liczbę dób. Masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1,5\) grama po 5 pełnych dobach.

Zauważ, że rozwiązując zadanie tak naprawdę przechodzimy przez proces myślenia wizualnego z wielokrotnymi pętlami. Opisałam to roboczo za pomocą poniższego schematu:

W kolejnych etapach zadajemy sobie następujące pytania:

• Co wiem z treści zadania?
• Co mam obliczyć lub udowodnić?
• Na jakie pytanie mam odpowiedzieć?
• Co dokładnie wiem z treści zadania?
• Co konkretnie powinienem policzyć?
• Czy potrafię własnymi słowami opisać, co jest do obliczenia lub udowodnienia?
• Czy rozwiązywałem już kiedyś podobne zadanie i znam schemat jego rozwiązywania?
• Czy otrzymane przeze mnie wyniki mają sens?
• Czy mogę już coś obliczyć z danych, które są podane bezpośrednio w zadaniu?
• Czy są jakieś niewidoczne na pierwszy rzut oka powiązania między danymi i szukanymi (wzory, własności figur)?
• Jak najlepiej przedstawić sytuacją przedstawioną w zadaniu, tak aby zapis był zrozumiały dla mnie i dla innych?

Tworzenie notatki jest czynnością, którą praktycznie codziennie wykonuje każdy uczeń. Powiedzmy, że próbujesz stworzyć notatkę na temat wzorów skróconego mnożenia na podstawie podręcznika, z którego korzystasz w szkole. Proces myślenia wizualnego w tej sytuacji możemy opisać następująco:

1. otwierasz podręcznik i rzucasz okiem na temat oraz jego zawartość,
2. zauważasz, że w tym temacie jest część wprowadzająca (zawierająca wzory, ich dowody oraz przykłady zastosowań) i część praktyczna, czyli zadania do wykonania,
3. zapoznajesz się z częścią wprowadzająca -  starasz się zrozumieć jak działają wzory i jak przebiegają ich dowody oraz  jak zastosować poznane wzory w praktyce,
4. wykonujesz w zeszycie lub na kartce notatkę z części teoretycznej, a następnie przechodzisz do części praktycznej.

Być może po wykonaniu zadań dopiszesz do tej notatki własne adnotacje, na przykład dodatkowe techniki, które odkryłeś podczas rozwiązywania zadań z tego tematu.

Na tej stronie internetowej jako notatkę wizualną definiuje notatkę, która powstała w ostatnim etapie procesu myślenia wizualnego jako efekt wcześniejszego gromadzenia, selekcjonowania i porządkowania informacji oraz wyobrażenia sobie powiązań między nimi.

Z zastosowaniem myślenia wizualnego w tworzeniu notatek powiązany jest sketchnoting.

W literaturze notatkę wykonaną techniką sketchnotingu nazywa się sketchnotką i bardzo często utożsamia z notatką wizualną. Na tej stronie nie używam tych nazw zamiennie. Moim zdaniem sketchnotki (inne określenia: grafonotki, notatki graficzne) mają często bardziej artystyczną formę i zawierają dodatkowe elementy wspierające zapamiętywanie informacji. Potwierdzenia skuteczności sketchnotingu i myślenia wizualnego szuka się w Teorii podwójnego kodowania Allana Paivio.

Chciałabym zwrócić Twoją uwagę na to, że samo wykonanie notatki wizualnej lub sketchnotki nie gwarantuje zapamiętania wszystkich informacji ani opanowania umiejętności matematycznych. Ucząc się matematyki, dążymy do opanowania różnych umiejętności, w tym:

• skutecznego rozwiązywania problemów,
• poprawnego definiowania nowych pojęć,
• kategoryzowania,
• logicznego uzasadniania tez
• rozwijania wyobraźni geometrycznej oraz
• czytania tekstu ze zrozumieniem.

Do osiągnięcia tych celów niezbędne są regularne powtórki. Wykonanie notatki może natomiast pomóc Ci znacznie lepiej zrozumieć definicje, twierdzenia, wzory i algorytmy, które później będziesz wykorzystywać podczas rozwiązywania zadań.

Poniżej przedstawiam przykładową matematyczną sketchnotkę:

W obecnych czasach w Internecie znajdziesz wiele różnych grafik przypominających notatki (głównie stworzone przez AI) lub notatek z różnych przedmiotów - w tym również z matematyki. Bądź jednak ostrożny w uczeniu się z nich. Mogą one zawierać błędy merytoryczne. Zanim skorzystasz z takiej notatki, dokładnie ją przeanalizuj. Po pierwsze - czy autor jest wart Twojego zaufania. Po drugie - przeanalizuj wszystkie zapisy na niej zawarte porównując je np. z informacjami zawartymi w podręczniku.

Podczas nauki możesz wykorzystać również graficzne karty pracy do wypełnienia. Jeżeli miałabym prosto zdefiniować, czym są graficzne karty pracy, to są to takie notatki wizualne do wypełnienia. Za pomocą graficznej karty, autor prowadzi Ciebie przez proces poznawania konkretnego tematu - pokazuje co jest ważne w danym zagadnieniu. Nie daje jednak Tobie gotowych odpowiedzi. Jest to ważne dlatego, że aby się czegoś nauczyć trzeba wykonać odpowiedni wysiłek.

Oczywiście najskuteczniej nauczysz się tworząc własną notatkę. Dzieje się tak dlatego, że tworząc notatkę musisz dokonać wstępnej analizy materiału. Jednak nie zawsze jest na to czas. Dlatego powstają takie produkty, jak graficzne karty pracy.

Poniżej przedstawiam przykład wypełnionej gotowej karty:

Geogebra jest niezwykle pomocnym narzędziem w wizualizacji pojęć matematycznych. Dzięki niej możesz dogłębnie zrozumieć dane pojęcie, o którym aktualnie się uczysz. Będzie ona dla Ciebie szczególnie przydatna, jeśli uczysz się:

• planimetrii,
• geometrii analitycznej,
• stereometrii,
• o funkcjach i ich własnościach,
• o układach równań i równaniach z parametrami,
• zadań optymalizacyjnych.

Poniższa animacja przedstawia wykres funkcji \( f(x)=\frac{1}{3}x^2\) oraz wszystkie styczne do tego wykresu w punktach o \((x,f(x)) \), gdzie \(x \in (-10,10) \).

Możesz wykorzystać Geogebrę również do sprawdzania otrzymanych przez Ciebie wyników. Na przykład, możesz w Geogebrze narysować okrąg \(x^2+y^2=25\) i prostą \( y=\frac{4}{3}x\), a następnie znaleźć punkty przecięcia tego okręgu i prostej.

W ten sposób znajdziesz rozwiązania poniższego układu równań:
$$ \begin{cases}
x^2+y^2 = 25 \\
y = \frac{4}{3}x \\
\end{cases} $$

Nie bez znaczenia jest to, czy na pewno wybraliśmy najlepszy sposób opisania tego, na co patrzeliśmy, zobaczyliśmy i wyobraziliśmy sobie. Poniżej przedstawiam Tobie dwa wizualne opisy, które nie oddają właściwego znaczenia pojęć matematycznych i jak je zastosować poprawnie.

Pierwsza wersja opisu nierówności " \(3\) jest mniejsze od \(5\)" mimo, że pomaga nam zapamiętać, w którą stronę ustawić symbol nierówności nie opisuje na czym polega ta nierówność.

Poniższa wersja opisu nierówności jest bardziej zgodna z prawdą. Po jednej stronie mamy 3 elementy, po drugiej 5.